Deckel drauf, Logik los!

Abgeschlossene Räume wecken oft unsere Neugier: Zimmer und Truhen, natürlich auch Tresore, irgendwelche Apparate oder geheimnisvolle Flaschen, nicht zuletzt Kästen. Im übertragenen Sinne zählen dazu durchaus auch unser Kopf mit dem Gehirn oder unser Körper mit seinem Seelenleben.

Die Spannbreite für den Weg ins Innere solcher Räume reicht, sinnbildlich gesprochen, vom Schlüssel bis zur Brechstange. Hilft das eine wie das andere nicht, was häufig der Fall ist, bleibt nur, zu lamentieren - oder zu probieren. Exemplarisch für Letzteres ist die systemtheoretische Blackbox. Der einzige Weg, ihr Inneres aufzudecken, sei, mit ihr zu spielen, wie es René Thom (1923 - 2002), französischer Mathematiker und 1958 mit der Fields-Medaille geehrt, einst so hübsch verknappte.

Unser heutiges Denkspiel ist natürlich etwas einfacher. Wir können uns die beiden Kästen, um die es geht, außen wie innen gut vorstellen. Die Aufgabe erläutert auch, was hier wie dort drin ist. Dennoch ist der Weg der Erkenntnis nicht ganz so einfach, denn am Ende sind die beiden Deckel eben doch zu ... Aber zu spielen, ist hier nicht nötig bzw. zu zeitaufwendig. Der Schlüssel zum Inneren ist ein bisschen Logik:

Wir haben zwei gleiche würfelförmige Kästen. Beide sind mit Kugeln gefüllt, deren Material die gleiche Dichte hat. In dem ersten Kasten befinden sich 27 gleich große Kugeln, in dem anderen 64 kleinere, aber untereinander ebenfalls gleichgroße Kugeln. - Welcher Kasten ist schwerer?

Vorausgesetzt ist, dass die Kugeln in den beiden Kästen dicht bei dicht bis obenan liegen. Präzise folgendermaßen: In jeder Schicht befindet sich die gleiche Anzahl von Kugeln. Die äußeren Kugeln jeder Schicht berühren die Kastenwände. Schließt man die Kisten mit ihren Deckeln, werden diese innen von der obersten Kugelschicht berührt.